问题详情：
．如图，抛物线y＝
与x轴交于A，B（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，连接AC、BC．过点A作AD∥BC交抛物线于点D（8
，10），点P为线段BC下方抛物线上的任意一点，过点P作PE∥y轴交线段AD于点E．
（1）如图1．当PE+AE最大时，分别取线段AE，AC上动点G，H，使GH＝5，若点M为GH的中点，点N为线段CB上一动点，连接EN、MN，求EN+MN的最小值；
（2）如图2，点F在线段AD上，且AF：DF＝7：3，连接CF，点Q，R分别是PE与线段CF，BC的交点，以RQ为边，在RQ的右侧作矩形RQTS，其中RS＝2，作∠ACB的角平分线CK交AD于点K，将△ACK绕点C顺时针旋转75°得到△A′CK′，当矩形RQTS与△A′CK′重叠部分（面积不为0）为轴对称图形时，请直接写出点P横坐标的取值范围．
【回答】
【解答】解：（1）在抛物线y＝
x2﹣
x﹣6中，
当y＝0时，x1＝﹣2
，x2＝6
，
当x＝0时，y＝﹣6，
∵抛物线y＝
x2﹣
x﹣6与x轴交于A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，
∴A（﹣2，0），B（6
，0），C（0，﹣6），
∴AB＝8
，AC＝
，BC＝
，
在△ABC中，
AC2+BC2＝192，AB2＝192，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝90°，
过点D作DL⊥x轴于点L，
在Rt△ADL中，
DL＝10，AL＝10
，
tan∠DAL＝
＝
，
∴∠DAB＝30°，
把点A（﹣2，0），D（8
，10）代入直线解析式，
得
，
解得k＝
，b＝2，
∴yAD＝
x+2，
设点E的横坐标为a，EP⊥y轴于点Q，
则E（a，
a+2），Q（a，0），P（a，
a2﹣
a﹣6），
∴EQ＝
a+2，EP＝
a+2﹣（
a2﹣
a﹣6）＝
a2+
a+8，
∴在Rt△AEB中，
AE＝2EQ＝
a+4，
∴PE+AE＝
a+4+（
a2+
a+8）
＝
a2
a+12
＝
（a﹣5
）2+
∴根据函数的*质可知，当a＝5
时，PE+AE有最大值，
∴此时E（5
，7），
过点E作EF⊥CB交CB的延长线于点F，
则∠EAC＝∠ACB＝∠ACF＝90°，
∴四边形ACFE是矩形，
作点E关于CB的对称点E'，
在矩形ACFE中，由矩形的*质及平移规律知，
xF﹣xE＝xC﹣xA，yE﹣yF＝yA﹣yC，
∵A（﹣2
，0），C（0，﹣6），E（5
，7），
∴xF﹣5＝0﹣（﹣2），7﹣yF＝0﹣（﹣6），
∴xF＝7，yF＝1，
∴F（7，1），
∵F是EE′的中点，
∴
，
，
∴xE′＝9
，yE′＝﹣5，
∴E'（9
，﹣5），
连接AE'，交BC于点N，则当GH的中点M在E′A上时，EN+MN有最小值，
∴AE′＝
＝2
，
∵M是Rt△AGH斜边中点，
∴AM＝
GH＝
，
∴EN+MN＝E′M＝2
﹣
，
∴EN+MN的最小值是2
﹣
．
（2）在Rt△AOC中，
∵tan∠ACO＝
＝
，
∴∠AOC＝30°，
∵KE平分∠ACB，
∴∠ACK＝∠BCK＝45°，
由旋转知，△CA′K′≌△CAK，∠AC′A′＝75°，
∴∠OCA′＝75°﹣∠ACO＝45°，∠AC′K′＝45°，
∴OCK′＝90°，
∴K′C⊥y轴，△CAK′是等腰直角三角形，
∴A′C＝AC＝4
，
∴xA′＝
＝2
，yA′＝2
﹣6，
∴A′（2
，2
﹣6），
∴K′（4
，﹣6），
将A′（2
，2﹣6），K′（4，﹣6），代入一次函数解析式，
得
，
解得k＝﹣1，b＝4
﹣6，
∴yA′K′＝﹣x+4
﹣6，
∵CB∥AD，
∴将点C（0，﹣6），B（6
，0）代入一次函数解析式，
得
，
解得k＝
，b＝﹣6，
∴yCB＝
x﹣6，
联立yA′K′＝﹣x+4
﹣6和yCB＝x﹣6，
得﹣x+4
﹣6＝
x﹣6，
∴x＝6
﹣6
，
∴直线CB与A′K′的交点横坐标是6
﹣6
，
∵当EP经过A′时，点P的横坐标是2，
∴如图2，当2
＜xP＜6
﹣6
时，重叠部分是轴对称图形；
如图3，由于RS的长度为2，由图可看出当xP＝2
﹣1时，重叠部分同样为轴对称图形；
综上，当xP＝2
﹣1或2
＜xP＜6
﹣6时，
矩形RQRS和△A′CK′重叠部分为轴对称图形．
知识点：二次函数与一元二次方程
题型：解答题
