问题详情：
已知二次函数的解析式为y＝－x2＋4x，该二次函数交x轴于O、B两点，A为抛物线上一点，且横纵坐标相等(原点除外)，P为二次函数上一动点，过P作x轴垂线，垂足为D(a，0)(a>0)，并与直线OA交于点C.
(1)求A、B两点的坐标；
(2)当点P在线段OA上方时，过P作x轴的平行线与线段OA相交于点E，求△PCE周长的最大值及此时P点的坐标；
(3)当PC＝CO时，求P点坐标．
【回答】
解：(1)令y＝0，则－x2＋4x＝0，
解得x1＝0，x2＝4.
∴点B坐标为(4，0)，
设点A坐标为(x，x)，把A(x，x)代入y＝－x2＋4x得，
x＝－x2＋4x，
解得x1＝3，x2＝0(舍去)，
∴点A的坐标为(3，3);
（2）如解图①，设点P的坐标为(x，－x2＋4x)，
第3题解图①
∵点A坐标为(3，3)；
∴∠AOB＝45°，
∴OD＝CD＝x，
∴PC＝PD－CD＝－x2＋4x－x＝－x2＋3x，
∵PE∥x轴，
∴△PCE是等腰直角三角形，
∴当PC取最大值时，△PCE周长最大．
∵PE与线段OA相交，
∴0≤x≤1，
由PC＝－x2＋3x＝－(x－
)2＋
可知，抛物线的对称轴为直线x＝
，且在对称轴左侧PC随x的增大而增大，
∴当x＝1时，PC最大，PC的最大值为－1＋3＝2，
∴PE＝2，CE＝2
，
∴△PCE的周长为CP＋PE＋CE＝4＋2
，
∴△PCE周长的最大值为4＋2
，
把x＝1代入y＝－x2＋4x，得y＝－1＋4＝3，
∴点P的坐标为(1，3)；
（3）设点P坐标为(x，－x2＋4x)，则点C坐标为(x，x)，如解图②，
第3题解图②
①当点P在点C上方时，P1C1＝－x2＋4x－x＝－x2＋3x，OC1＝
x，
∵P1C1＝OC1，
∴－x2＋3x＝
x，
解得x1＝3－
，x2＝0(舍去)．
把x＝3－
代入y＝－x2＋4x得，
y＝－(3－
)2＋4(3－
)＝1＋2
，
∴P1(3－
，1＋2
)，
②当点P在点C下方时，P2C2＝x－(－x2＋4x)＝x2－3x，OC2＝
x，
∵P2C2＝OC2，
∴x2－3x＝
x，
解得x1＝3＋
，x2＝0(舍去)，
把x＝3＋
代入y＝－x2＋4x，
得y＝－(3＋
)2＋4(3＋
)＝1－2
，
∴P2(3＋
，1－2
)．
综上所述，P点坐标为(3－
，1＋2
)或(3＋
，1－2
)．
知识点：二次函数与一元二次方程
题型：解答题
