问题详情:
已知椭圆的离心率为,且过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若,分别为椭圆的上,下顶点,过点且斜率为的直线交椭圆于另一点(异于椭圆的右顶点),交轴于点,直线与直线相交于点.求*:直线的斜率为定值.
【回答】
(1);(2)*见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据条件求出,即可写出椭圆方程;
(2)设直线的方程为,联立直线与椭圆,可表示出坐标,继而得出直线的方程,令可得的坐标,即可求出直线的斜率并得出定值.
【详解】
(1)设椭圆的焦距为,则①,
②,又③,
由①②③解得,,,
所以椭圆的标准方程为.
(2)*:易得,,直线的方程为,因为直线不过点,所以,
由,得,
所以,从而,,
直线的斜率为,故直线的方程为.
令,得,
直线的斜率.
所以直线的斜率为定值.
【点睛】
本题考查椭圆的方程的求法,考查椭圆中的定值问题,属于中档题.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题