已知函数．（1）试判断f（x）在定义域内的单调*；（2）若f（x）在区间[1，e2]上的最小值为2，求实数a的...

问题详情：

已知函数．

（1）试判断f（x）在定义域内的单调*；

（2）若f（x）在区间[1，e2]上的最小值为2，求实数a的值．

【回答】

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调*．

【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）通过讨论a的范围，确定函数的单调*，从而求出函数的最小值即可．

【解答】解：由已知得f（x）得的定义域是（0，+∞），

f′（x）=，

（1）∵a＞0，∴﹣a＜0，

当x∈（0，a）时，f（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f（x）＞0，

∴f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增；

（2）由（1）得：

①0＜a≤1时，f（x）在在[1，e2]递增，

∴f（x）min=f（1）==2，得a=2（舍），

②当1＜a＜e2时，f（x）在（1，a）递减，在（a，e2）递增，

∴f（x）min=f（a）=lna+=2，解得：a=，

③当a≥e2时，f（x）在[1，e2]递减，

∴f（x）min=f（e2）=2+=2，无解，

综上：a=．

知识点：导数及其应用

题型：解答题