问题详情:
在平行四边形ABCD中,E是AD上一点,AE=AB,过点E作直线EF,在EF上取一点G,使得∠EGB=∠EAB,连接AG.
(1)如图①,当EF与AB相交时,若∠EAB=60°,求*:EG=AG+BG;
(2)如图②,当EF与CD相交时,且∠EAB=90°,请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系,并*你的结论.
【回答】
【考点】平行四边形的*质;全等三角形的判定与*质.
【分析】(1)首先作∠GAH=∠EAB交GE于点H,易*得△ABG≌△AEH,又由∠EAB=60°,可*得△AGH是等边三角形,继而*得结论;
(2)首先作∠GAH=∠EAB交GE于点H,易*得△ABG≌△AEH,继而可得△AGH是等腰直角三角形,则可求得*.
【解答】(1)*:如图①,作∠GAH=∠EAB交GE于点H.
∴∠GAB=∠HAE.
∵∠EAB=∠EGB,∠APE=∠BPG,
∴∠ABG=∠AEH.
在△ABG和△AEH中,
,
∴△ABG≌△AEH(ASA).
∴BG=EH,AG=AH.
∵∠GAH=∠EAB=60°,
∴△AGH是等边三角形.
∴AG=HG.
∴EG=AG+BG;
(2)EG=AG﹣BG.
如图②,作∠GAH=∠EAB交GE于点H.
∴∠GAB=∠HAE.
∵∠EGB=∠EAB=90°,
∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH=180°.
∴∠ABG=∠AEH.
∵又AB=AE,
∴△ABG≌△AEH.
∴BG=EH,AG=AH.
∵∠GAH=∠EAB=90°,
∴△AGH是等腰直角三角形.
∴AG=HG.
∴EG=AG﹣BG.
【点评】此题考查了平行四边形的*质、矩形的*质、全等三角形的判定与*质、等边三角形的判定与*质、等腰直角三角形的*质以及三角函数等知识.此题综合*较强,难度较大,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.
知识点:平行四边形
题型:解答题