问题详情:
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,点P是底边BC上一点且满足PA=PB,⊙O是△PAB的外接圆,过点P作PD∥AB交AC于点D.
(1)求*:PD是⊙O的切线;
(2)若BC=8,tan∠ABC=,求⊙O的半径.
【回答】
(1)*见解析;(2).
【分析】
(1)先根据圆的*质得:,由垂径定理可得:OP⊥AB,根据平行线可得:OP⊥PD,所以PD是⊙O的切线;
(2)如图2,作辅助线,构建直角三角形,根据三角函数设CG=x,BG=2x,利用勾股定理计算x=,设AC=a,则AB=a,AG=﹣a,在Rt△ACG中,由勾股定理列方程可得a的值,同理设⊙O的半径为r,同理列方程可得r的值.
【详解】
解:(1)如图1,连接OP,
∵PA=PB,
∴,
∴OP⊥AB,
∵PD∥AB,
∴OP⊥PD,
∴PD是⊙O的切线;
(2)如图2,过C作CG⊥BA,交BA的延长线于G,
Rt△BCG中,tan∠ABC=,
设CG=x,BG=2x,
∴BC=x,
∵BC=8,即x=8,
x=,
AC=a,则AB=a,AG=﹣a,
在Rt△ACG中,由勾股定理得:AG2+CG2=AC2,
∴ (﹣a)2+()2=a2,
a=2,
∴AB=2,BE=,
Rt△BEP中,同理可得:PE=,
设⊙O的半径为r,则OB=r,OE=r﹣,
由勾股定理得:r2=(r-)2+()2,
r=,
答:⊙O的半径是.
【点睛】
本题考查了切线的判定,等腰三角形的*质,直角三角形的*质,三角函数和勾股定理的计算等,综合*较强,熟练应用勾股定理是解决本题的关键.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题