问题详情:
如图,直线y=x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点,P是该直线上的任一点,过点D(3,0)向以P为圆心,AB为半径的⊙P作两条切线,切点分别为E、F,则四边形PEDF面积的最小值为( )
A. B. C.2 D.
【回答】
A
【分析】
连接DP,根据直线与坐标轴的交点,得出A,B的坐标,求出AB的长,即可得出⊙P的半径,*△PED≌△PFD,可得四边形PEDF面积=2S△PED=2×PE×DE,当DP⊥AP时,四边形PEDF的面积最小,利用三角函数求出DP的长,即可求得*.
【详解】
如图,连接DP,
∵直线y=x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点,
当x=0时,y=1,当y=0时,x=﹣2,
∴A(﹣2,0),B(0,1),
∴AB==,
∵过点D(3,0)向以P为圆心,AB为半径的⊙P作两条切线,切点分别为E、F,
∴DE=DF,PE⊥DE,
∵PE=PF,PD=PD,
∴△PED≌△PFD(SSS),
∵⊙P的半径为,
∴DE=,
当DP⊥AP时,DP最小,此时DP=AD•sin∠BAO=5×,
∵四边形PEDF面积=2S△PED=2×PE×DE=DE,
∴四边形PEDF面积的最小值为.
故选A.
【点睛】
本题考查了圆的切线的*质,勾股定理,全等三角形的判定,三角函数的应用等,熟练掌握相关内容是解题的关键.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:选择题