问题详情:
定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23且对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).
(1)判断函数f(x)的奇偶*,并*;
(2)若f(k·3x)+f(3x-9x-2)<0对任意x∈R恒成立,求实数k的取值范围.
【回答】
(1)函数f(x)是奇函数,
∵f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),①
令x=y=0,代入①式,得f(0+0)=f(0)+f(0),
即f(0)=0.
令y=-x,代入①式,得f(x-x)=f(x)+f(-x),
又f(0)=0,
则有0=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立.
∴f(x)是奇函数.
(2)f(3)=log23>0,即f(3)>f(0),
又f(x)在R上是单调函数,
∴f(x)在R上是增函数,又由(1),f(x)是奇函数,可知f(k·3x)<-f(3x-9x-2)=f(9x-3x+2),
∴k·3x<9x-3x+2对任意x∈R恒成立,
∴k<3x+-1对任意x∈R恒成立,
而3x+≥2(当且仅当3x=时等号成立),
∴k<2-1,
综上所述k<2-1时f(k·3x)+f(3x-9x-2)<0对任意x∈R恒成立.
知识点:*与函数的概念
题型:解答题