问题详情:
某商场从生产厂家以每件20元的进价购进一批商品,若该商品的售价定为p元,则销售量Q(单位:件)与零售价p(单位:元)有如下关系:Q=8 300-170p-p2.问该商品零售价定为多少时利润最大,最大利润是多少?
【回答】
解:设利润为L(p),由题意可得
L(p)=(p-20)·Q=(p-20)(8 300-170p-p2)
=-p3-150p2+11 700p-166 000(p>0),
所以L′(p)=-3p2-300p+11 700.
令L′(p)=0,得p=30或p=-130(舍去).
则L(30)=23 000.
因为0<p<30时,L′(p)>0;p>30时,L′(p)<0,
所以p=30时,L(p)取得极大值.根据实际问题的意义知,L(30)就是最大值,即零售价定为每件30元时,利润最大,最大利润为23 000元.
知识点:导数及其应用
题型:解答题