问题详情:
设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,l与x轴交于点R,A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.
(1)若∠BFD=120°,△ABD的面积为8,求p的值及圆F的方程;
(2)在(1)的条件下,若A,B,F三点在同一直线上,FD与抛物线C交于点E,求△EDA的面积.
【回答】
解:(1)因为∠BFD=120°,|BF|=|FD|,
所以∠FBD=∠FDB=30°,
在Rt△BRF中,因为|FR|=p,
所以|BF|=2p,|BR|=p.
在Rt△DRF中,同理有|DF|=2p,|DR|=p,
所以|BD|=|BR|+|RD|=2p,
圆F的半径|FA|=|FB|=2p.
由抛物线定义可知,A到l的距离d=|FA|=2p,
因为△ABD的面积为8,
所以|BD|·d=8,
即×2p×2p=8,解得p=-2(舍去)或p=2,所以F(1,0),圆F的方程为(x-1)2+y2=16.
(2)因为A,B,F三点在同一直线上,所以AB为圆F的直径,∠ADB=90°,
由抛物线定义知,|AD|=|FA|=|AB|,所以∠ABD=30°,
直线DF的斜率k=tan 60°=,其方程为y=(x-1),
解方程组得
d′=|DR|-|yE|=2-=,
所以S△EDA=|DA|·d′=×4×=.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题