問題詳情：
已知橢圓C：
(1)求橢圓C的離心率；
(2)設過點A(0,2)的直線l與橢圓C交於M，N兩點，點Q是線段MN上的點，且
【回答】
解 (1)由橢圓定義知
2a＝|PF1|＋|PF2|＝
所以a＝
又由已知得，c＝1，所以橢圓C的離心率e＝
(2)由(1)知，橢圓C的方程爲
設點Q的座標爲(x，y)．
(i)當直線l與x軸垂直時，直線l與橢圓C交於(0,1)，(0，－1)兩點，此時點Q的座標爲
(ii)當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程爲y＝kx＋2.
因爲M，N在直線l上，可設點M，N的座標分別爲(x1，kx1＋2)，(x2，kx2＋2)，則
|AM|2＝(1＋k2)x
又|AQ|2＝x2＋(y－2)2＝(1＋k2)x2.
由
將y＝kx＋2代入
(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0.②
由Δ＝(8k)2－4×(2k2＋1)×6＞0，得k2＞
由②可知，x1＋x2＝
代入①中並化簡，得
x2＝
因爲點Q在直線y＝kx＋2上，所以k＝
由③及k2＞
即x∈
又
故x∈
由題意知點Q(x，y)在橢圓C內，所以－1≤y≤1，
又由10(y－2)2＝18＋3x2有
(y－2)2∈
所以點Q的軌跡方程爲10(y－2)2－3x2＝18，其中x∈
知識點：圓錐曲線與方程
題型：解答題
