問題詳情：
已知函數f(x)=sin(ωx+φ)
的部分圖象如圖所示.
(1)求函數f(x)的解析式,並求出f(x)的單調遞增區間.
(2)將函數f(x)的圖象上各個點的橫座標擴大到原來的2倍,再將圖象向右平移
個單位,得到g(x)的圖象,若存在x∈
使得等式3g(x)+1=2[a+g2(x)]成立,求實數a的取值範圍.
【回答】
【解析】(1)設函數f(x)的週期爲T,由圖象可知
=
-
=
.所以T=π,
即
=π,又ω>0,解得ω=2.
所以f(x)=sin(2x+φ).
因爲點
在函數f(x)的圖象上,
所以sin
=1,即
+φ=
+2kπ,k∈Z,
解得φ=
+2kπ,k∈Z.
又因爲|φ|<
,所以φ=.
所以f(x)=sin
.
令-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),
解得-
+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),
所以f(x)的單調遞增區間爲
(k∈Z).
(2)經過圖象變換,得到函數g(x)=f
=sin x.
於是問題即爲“存在x∈
,使得等式3sin x+1=2(a+sin2x)成立”.
即2a=-2sin2x+3sin x+1在x∈
上有解.
令t=sin x∈[0,1],則2a=-2t2+3t+1在t∈[0,1]上有解,
因爲-2t2+3t+1=-2
+
∈
,
所以2a∈
,即實數a的取值範圍爲
.
知識點：三角函數
題型：解答題
