問題詳情:
已知函數f(x)爲二次函數,滿足f(0)=1,且f(x+1)﹣f(x)=2x.
(1)求函數f(x)的解析式;
(2)若方程f(2x)=2x+a在x∈(﹣∞,2]上有兩個不同的解,求實數a的取值範圍.
【回答】
【考點】3W:二次函數的*質.
【分析】(1)設出函數f(x)的解析式,根據f(0)=1求出c的值,根據f(x+1)﹣f(x)=2x,求出a,b的值,從而求出函數的解析式即可;
(2)問題轉化爲a=(2x﹣1)2在x∈(﹣∞,2]上有兩個不同的解,令t=2x,則0<t≤4,令g(t)=(t﹣1)2,畫出函數g(t)和y=a的圖象,讀出a的範圍即可.
【解答】解:(1)設f(x)=ax2+bx+c,由f(0)=1得c=1,
∴f(x)=ax2+bx+1,
∴f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+1=ax2+(2a+b)x+a+b+1,
∴f(x+1)﹣f(x)=ax2+(2a+b)x+a+b+1﹣ax2﹣bx﹣1
=2ax+a+b,
∵f(x+1)﹣f(x)=2x,
∴2ax+a+b=2x,
∴2a=2且a+b=0,
∴a=1,b=﹣1,
∴f(x)=x2﹣x+1;
(2)若方程f(2x)=2x+a在x∈(﹣∞,2]上有兩個不同的解,
即a=(2x﹣1)2在x∈(﹣∞,2]上有兩個不同的解,
令t=2x,則0<t≤4,
令g(t)=(t﹣1)2,
畫出函數g(t)和y=a的圖象,如圖所示:
故0<a<1.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題