問題詳情：
如圖，已知P爲銳角∠MAN內部一點，過點P作PB⊥AM於點B，PC⊥AN於點C，以PB爲直徑作⊙O，交直線CP於點D，連接AP，BD，AP交⊙O於點E．
（1）求*：∠BPD=∠BAC．
（2）連接EB，ED，當tan∠MAN=2，AB=2
時，在點P的整個運動過程中．①若∠BDE=45°，求PD的長． ②若△BED爲等腰三角形，求所有滿足條件的BD的長．
（3）連接OC，EC，OC交AP於點F，當tan∠MAN=1，OC//BE時，記△OFP的面積爲S1 ， △CFE的面積爲S2 ， 請寫出 
的值．
【回答】
（1）解 ：∵PB⊥AM，PC⊥AN ∴∠ABP=∠ACP=90°， ∴∠BAC+∠BPC=180° ∵∠BPD+∠BPC=180° ∴∠BPD=∠BAC （2）解 ;①如圖1， 
∵∠APB=∠BDE=45°，∠ABP=90°， ∴BP=AB= 
∵∠BPD=∠BAC ∴tan∠BPD=tan∠BAC ∴ 
=2 ∴BP= 
PD ∴PD=2 ∴∠BPD=∠BPE=∠BAC ∴tan∠BPE=2 ∵AB= 
∴BP= 
∴BD=2 Ⅱ如圖2，當BE=DE時，∠EBD=∠EDB 
∵∠APB=∠BDE，∠DBE=∠APC ∴∠APB=∠APC ∴AC=AB= 
過點B作BG⊥AC於點G，得四邊形BGCD是矩形 
∵AB= 
，tan∠BAC=2 ∴AG=2 ∴BD=CG= 
Ⅲ如圖4，當BD=DE時，∠DEB=∠DBE=∠APC 
∵∠DEB=∠DPB=∠BAC ∴∠APC=∠BAC 設PD=x，則BD=2x ∴ 
=2 ∴ 
=2 ∴x= 
∴BD=2x=3 綜上所述，當BD爲2，3或 
時，△BDE爲等腰三角形 （3）
= 
如圖5，過點O作OH⊥DC於點H 
∵tan∠BPD=tan∠MAN=1 ∴BD=DP 令BD=DP=2a，PC=2b得 OH=a，CH=a+2b，AC=4a+2b 由OC∥BE得∠OCH=∠PAC ∴ 
= 
∴OH·AC=CH·PC ∴a（4a+2b）=2b（a+2b） ∴a=b ∴CF= 
，OF= 
∴ 
= 
【考點】圓的綜合題
【解析】【分析】（1）根據垂直的定義得出∠ABP=∠ACP=90°，根據四邊形的內角和得出∠BAC+∠BPC=180°，根據平角的定義得出∠BPD+∠BPC=180°，根據同角的餘角相等得出∠BPD=∠BAC ； （2）①如圖1，根據等腰直角三角形的*質得出BP=AB=2
， 根據等角的同名三角函數值相等及正切函數的定義得出BP=
PD，從而得出PD的長；②Ⅰ如圖2，當BD=BE時，∠BED=∠BDE，故∠BPD=∠BPE=∠BAC根據等角的同名三角函數值相等得出tan∠BPE=2，根據正切函數的定義由AB=2
,得出BP=
， 根據勾股定理即可得出BD=2；Ⅱ如圖3，當BE=DE時，∠EBD=∠EDB；由∠APB=∠BDE，∠DBE=∠APC，得出∠APB=∠APC ②Ⅰ如圖2，當BD=BE時，∠BED=∠BDE， 由等角對等邊得出AC=AB= 2 
， 過點B作BG⊥AC於點G，得四邊形BGCD是矩形，根據正切函數的定義得出AG=2，進而得出BD=CG=2
-2,；Ⅲ如圖4，當BD=DE時，∠DEB=∠DBE=∠APC ，由∠DEB=∠DPB=∠BAC得出∠APC=∠BAC，設PD=x，則BD=2x，根據正切函數的定義列出關於x的方程，求解得出x的值，進而由BD=2x得出*； （3）如圖5，過點O作OH⊥DC於點H，根據tan∠BPD=tan∠MAN=1得出BD=DP，令BD=DP=2a，PC=2b得OH=a，CH=a+2b，AC=4a+2b，由OC∥BE得∠OCH=∠PAC，根據平行線分線段成比例定理得出OH·AC=CH·PC，從而列出方程，求解得出a=b，進而表示出CF,OF，故可得出*。
知識點：各地中考
題型：綜合題
