問題詳情：
如圖，經過村莊A有兩條夾角為60°的公路AB，AC，根據規劃擬在兩條公路之間的區域內建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M、N (異於村莊A)，要求PM＝PN＝MN＝2(單位：千米)．如何設計，使得工廠產生的噪聲對居民的影響最小(即工廠與村莊的距離最遠)．
【回答】
解法一：設∠AMN＝θ，在△AMN中，
因為MN＝2，所以AM＝sin(120°－θ) ． ………………2分
在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ)． …………………6分
AP2＝AM2＋MP2－2 AM·MP·cos∠AMP
＝sin2(120°－θ)＋4－2×2× sin(120°－θ) cos(60°＋θ) ………………………………8分
＝sin2(θ＋60°)－ sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4
＝[1－cos (2θ＋120°)]－ sin(2θ＋120°)＋4
＝－[sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋
＝－sin(2θ＋150°)，θ∈(0，120°)．
若且唯若2θ＋150°＝270°，即θ＝60°時，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2．
答：設計∠AMN為60時，工廠產生的噪聲對居民的影響最小．
解法二(構造直角三角形)：
設∠PMD＝θ，在△PMD中，
∵PM＝2，∴PD＝2sinθ，MD＝2cosθ． ……………2分
在△AMN中，∠ANM＝∠PMD＝θ，∴＝，
AM＝sinθ，∴AD＝sinθ＋2cosθ，(θ≥時，結論也正確)．……………6分
AP2＝AD2＋PD2＝(sinθ＋2cosθ)2＋(2sinθ)2
＝sin2θ＋sinθcosθ＋4cos2θ＋4sin2θ
＝·＋sin2θ＋4＝sin2θ－cos2θ＋
此時AM＝AN＝2，∠PAB＝30°
解法三：設AM＝x，AN＝y，∠AMN＝α．
在△AMN中，因為MN＝2，∠MAN＝60°，
所以MN2＝AM2＋AN2－2 AM·AN·cos∠MAN，
即x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy＝4．
因為x2＋y2－xy＝4，4＋xy＝x2＋y2≥2xy，即xy≤4．
所以AP2≤12，即AP≤2．
若且唯若x＝y＝2時，AP取得最大值2．
答：設計AM＝AN＝2 km時，工廠產生的噪聲對居民的影響最小．
解法四(座標法)：以AB所在的直線為x軸，A為座標原點，建立直角座標系．
設M(x1，0)，N(x2，x2)，P(x0，y0)．∵MN＝2，
∴(x1－x2)2＋3x＝4．
＝4＋4x1x2≤4＋4×2＝12， 即AP≤2．
答：設計AM＝AN＝2 km時，工廠產生的噪聲對居民的影響最小． 解法五(變換法)：以AB所在的直線為x軸，A為座標原點，建立直角座標系．
設M(x1，0)，N(x2，x2)，P(x0，y0)．
∵MN＝2，∴(x1－x2)2＋3x＝4．即x＋4x＝4＋2x1x2
∴4＋2x1x2≥4x1x2，即x1x2≤2． …………………4分
∵△MNP為正三角形，且MN＝2．∴PK＝，PK⊥MN．
x0－x1＝(x2－x1)＋x2，y0＝－(x2－x1)＋x2．
∴x0＝2x2＋x1，y0＝x1．
∴AP2＝x＋y＝(2x2＋x1)2＋x＝x＋4x＋2x1x2
＝4＋4x1x2≤4＋4×2＝12， 即AP≤2．
答：設計AM＝AN＝2 km時，工廠產生的噪聲對居民的影響最小．…
解法六(幾何法)：由運動的相對*，可使△PMN不動，點A在運動．
由於∠MAN＝60°，∴點A在以MN為弦的一段圓弧(優弧)上，
設圓弧所在的圓的圓心為F，半徑為R，
由圖形的幾何*質知：AP的最大值為PF＋R．
在△AMN中，由正弦定理知：＝2R，
∴R＝，
∴FM＝FN＝R＝，又PM＝PN，∴PF是線段MN的垂直平分線．
設PF與MN交於E，則FE2＝FM2－ME2＝R2－12＝．
即FE＝，又PE＝．
∴PF＝，∴AP的最大值為PF＋R＝2．
答：設計AM＝AN＝2 km時，工廠產生的噪聲對居民的影響最小．
知識點：解三角形
題型：解答題
