问题详情:
如图①,在平面直角坐标系中,圆心为P(x,y)的动圆经过点A(1,2)且与x轴相切于点B.
(1)当x=2时,求⊙P的半径;
(2)求y关于x的函数解析式,请判断此函数图象的形状,并在图②中画出此函数的图象;
(3)请类比圆的定义(图可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的*),给(2)中所得函数图象进行定义:此函数图象可以看成是到 点A 的距离等于到 x轴 的距离的所有点的*.
(4)当⊙P的半径为1时,若⊙P与以上(2)中所得函数图象相交于点C、D,其中交点D(m,n)在点C的右侧,请利用图②,求cos∠APD的大小.
【回答】
【分析】(1)由题意得到AP=PB,求出y的值,即为圆P的半径;
(2)利用两点间的距离公式,根据AP=PB,确定出y关于x的函数解析式,画出函数图象即可;
(3)类比圆的定义描述此函数定义即可;
(4)画出相应图形,求出m的值,进而确定出所求角的余弦值即可.
【解答】解:(1)由x=2,得到P(2,y),
连接AP,PB,
∵圆P与x轴相切,
∴PB⊥x轴,即PB=y,
由AP=PB,得到=y,
解得:y=,
则圆P的半径为;
(2)同(1),由AP=PB,得到(x﹣1)2+(y﹣2)2=y2,
整理得:y=(x﹣1)2+1,即图象为开口向上的抛物线,
画出函数图象,如图②所示;
(3)给(2)中所得函数图象进行定义:此函数图象可以看成是到点A的距离等于到x轴的距离的所有点的*;
故*为:点A;x轴;
(4)连接CD,连接AP并延长,交x轴于点F,
设PE=a,则有EF=a+1,ED=,
∴D坐标为(1+,a+1),
代入抛物线解析式得:a+1=(1﹣a2)+1,
解得:a=﹣2+或a=﹣2﹣(舍去),即PE=﹣2+,
在Rt△PED中,PE=﹣2,PD=1,
则cos∠APD==﹣2.
【点评】此题属于圆的综合题,涉及的知识有:两点间的距离公式,二次函数的图象与*质,圆的*质,勾股定理,弄清题意是解本题的关键.
知识点:各地中考
题型:综合题