問題詳情:
(2017新課標全國Ⅲ理科)如圖,四面體ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.
(1)*:平面ACD⊥平面ABC;
(2)過AC的平面交BD於點E,若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分,求二面角D–AE–C的餘弦值.
【回答】
(1)見解析;(2).
【解析】
試題分析:(1)利用題意*得二面角的平面角為90°,則可得到面面垂直;
(2)利用題意求得兩個半平面的法向量,然後利用二面角的夾角公式可求得二面角D–AE–C的餘弦值為.
試題解析:(1)由題設可得,,從而.
又是直角三角形,所以.
取AC的中點O,連接DO,BO,則DO⊥AC,DO=AO.
又由於是正三角形,故.
所以為二面角的平面角.
在中,.
又,所以,
故.
所以平面ACD⊥平面ABC.
(2)由題設及(1)知,兩兩垂直,以為座標原點,的方向為軸正方向,為單位長,建立如圖所示的空間直角座標系.則.
由題設知,四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的,從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的,即E為DB的中點,得.
故.
設是平面DAE的法向量,則即
可取.
設是平面AEC的法向量,則同理可取.
則.
所以二面角D-AE-C的餘弦值為.
【名師點睛】(1)求解本題要注意兩點:一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角,二是利用方程思想進行向量運算時,要認真細心,準確計算.
(2)設m,n分別為平面α,β的法向量,則二面角θ與互補或相等,故有.求解時一定要注意結合實際圖形判斷所求角是鋭角還是鈍角.
知識點:點 直線 平面之間的位置
題型:解答題