問題詳情：
已知圓C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率為1的直線l，使以l被圓截得的弦AB為直徑的圓過原點？若存在，求出直線l的方程；若不存在，説明理由．
【回答】
解：假設存在斜率為1的直線l，滿足題意，則OA⊥OB.設直線l的方程是y＝x＋b，其與圓C的交點A，B的座標分別為A(x1，y1)，
B(x2，y2)則
·
＝－1，
即x1x2＋y1y2＝0.①
由
消去y得，2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，
∴x1＋x2＝－(b＋1)，
x1x2＝
(b2＋4b－4)，②
y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝
(b2＋4b－4)－b2－b＋b2＝
(b2＋2b－4)．③
把②③式代入①得，得b2＋3b－4＝0，
解得b＝1或b＝－4，且b＝1或b＝－4都使得Δ＝4(b＋1)2－8(b2＋4b－4)>0成立．故存在直線l滿足題意，其方程為y＝x＋1或y＝x－4.
知識點：圓與方程
題型：解答題
