問題詳情：
已知函數f（x）=2lnx﹣3x2﹣11x．
（1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若關於x的不等式f（x）≤（a﹣3）x2+（2a﹣13）x+1恆成立，求整數a的最小值．
【回答】
解：（1）∵f′（x）=
，f′（1）=﹣15，f（1）=﹣14，
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為：y﹣14=﹣15（x﹣1），即y=﹣15x+1；
（2）令g（x）=f（x）﹣（a﹣3）x2﹣（2a﹣13）x﹣1=2lnx﹣ax2+（2﹣2a）x﹣1，
∴g′（x）=
．
當a≤0時，∵x＞0，∴g′（x）＞0，則g（x）是（0，+∞）上的遞增函數．
又g（1）=﹣a+2﹣2a﹣1=1﹣3a＞0，∴不等式f（x）≤（a﹣3）x2+（2a﹣13）x+1不恆成立；
當a＞0時，g′（x）=
．
令g′（x）=0，得x=
，∴當x∈（0，
）時，g′（x）＞0；當x∈（
，+∞）時，g′（x）＜0．
因此，g（x）在（0，
）上是增函數，在（
，+∞）上是減函數．
故函數g（x）的最大值為g（
）=
≤0．
令h（a）=
． 則h（a）在（0，+∞）上是減函數，
∵h（1）=﹣2＜0， ∴當a≥1時，h（a）＜0，∴整數a的最小值為1．
知識點：基本初等函數I
題型：解答題
