問題詳情：
若數列
滿足
，且存在常數
，使得對任意的
都有
，則稱數列
為“k控數列”．
（1）若公差為d的等差數列
是“2控數列”，求d的取值範圍；
（2）已知公比為
的等比數列
的前n項和為
，數列
與
都是“k控數列”，求q的取值範圍（用k表示）．
【回答】
（1）
（2）
．
【分析】
（1）根據“
控數列”的定義得出
，則由等差數列的通項公式可得
對
恆成立，求出公差
的取值範圍；
（2）由等比數列
為“
控數列”得
，又
是“
控數列”得
，分類討論求出q的取值範圍.
【詳解】
（1）因為公差為
的等差數列
是“2控數列”，所以
，所以
，
即
，
所以
由
得所以
，又
，所以
，
由
得：
當
時，
，所以
；
當
時，
成立；
當
時，
，又
，所以
；
綜上，
，
所以
的取值範圍是
；
（2）因為數列
是公比為
的等比數列且為“
控數列”，所以
，顯然
，故
．
易知
，要使
是“
控數列”，
則
，
（ⅰ）當
時，
，
令
，則
遞減，
所以
，
所以
，即
．
要使
存在，則
得
；
（ⅱ）當
時，
，
令
，則
遞減，
，
所以
，又
，所以
，
要使
存在，需
，得
綜上，當
時，公比
的取值範圍是
．
【點睛】
本題主要考查等差數列的通項公式、等比數列的前
項和公式，數列不等式的恆成立問題，考查了分類討論的思想，考查了學生的邏輯推理與運算求解能力．
知識點：數列
題型：解答題
