問題詳情:
已知動圓過定點(2,0),且與直線x=-2相切.
(1)求動圓的圓心軌跡C的方程;
(2)是否存在直線l,使l過點(0,2),並與軌跡C交於P,Q兩點,且滿足·=0?若存在,求出直線l的方程;若不存在,説明理由.
【回答】
(1)如圖,設M為動圓圓心,F(2,0),過點M作直線x=-2的垂線,垂足為N,
由題意知:|MF|=|MN|,即動點M到定點F與到定直線x=-2的距離相等,由拋物線的定義知,點M的軌跡為拋物線,其中F(2,0)為焦點,x=-2為準線,
所以動圓圓心軌跡C的方程為y2=8x.
(2)由題可設直線l的方程為x=k(y-2)(k≠0),
由,得y2-8ky+16k=0,
Δ=(-8k)2-4×16k>0,解得k<0或k>1.
設P(x1,y1),Q(x2,y2),則y1+y2=8k,y1y2=16k,
由·=0,得x1x2+y1y2=0,
即k2(y1-2)(y2-2)+y1y2=0,
整理得:(k2+1)y1y2-2k2(y1+y2)+4k2=0,
代入得16k(k2+1)-2k2·8k+4k2=0,
即16k+4k2=0,
解得k=-4或k=0(捨去),
所以直線l存在,其方程為x+4y-8=0.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題