問題詳情:
已知定點,動點(),線段的中垂線與交於點.
(Ⅰ)求動點的軌跡的方程;
(Ⅱ)當爲正三角形時,過點作直線的垂線,交拋物線於,兩點,
求*:點在以線段爲直徑的圓內.
【回答】
解法1:(Ⅰ)依題意,,且不在直線上.…………1分
故動點的軌跡爲以點爲焦點,直線爲準線的拋物線.…………2分
故其對應的方程爲.…………4分
(Ⅱ)當爲正三角形時,不妨設,如右圖
依題意可得:直線的傾斜角,
故直線的斜率:.
則直線的方程爲:.…………6分
令,可得點,故點.
因爲直線與直線垂直,並且直線的傾斜角爲,
所以直線的傾斜角爲,
所以直線的方程爲:,即.…………8分
聯立方程組,消去,整理可得:
設,由韋達定理可得:,故.…………9分
所以點,又,.
所以,…………11分
所以.
所以爲鈍角,故點在以線段爲直徑的圓內. …………12分
解法2:(Ⅰ)設動點.…………1分
依題意,中點座標爲,,故中垂線的方程爲.…………2分
聯立與,可得消去可得點軌跡方程.……4分
(Ⅱ)當爲正三角形時,不妨設,如右圖
設,依題意可得: ,
在中,已知,
故.可得點,
又,並且,故點.
因爲直線與直線垂直,所以直線與直線平行,
所以直線的方程爲:,即.…………8分
聯立方程組,消去,整理可得:
設,由韋達定理可得:,故.…………9分
所以點,又點,
所以以線段爲直徑的圓的方程爲:.…………10分
因爲,
故點在以線段爲直徑的圓內,若,由圖象的對稱*可知也成立. …………12分
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題