問題詳情：
已知函數
.
（1）求函數
的單調區間；
（2）當
時，函數
在
上的最小值爲
，若不等式
有解，求實數
的取值範圍．
【回答】
（1）*見解析；（2）
【解析】
（1）求出導函數，然後根據
的符號進行分類討論，並藉助解不等式組的方法得到單調區間；（2）根據（1）中的結論求出當
時，函數
在
上的最小值
，因此問題轉化爲
有解，即
有解
，構造函數
，求出函數
的最小值即可得到所求．
【詳解】（1）由
，
得
，
①當
時，
令
，得
，
所以
，或
，即
或
，
解得
或
．
令
，得
，
所以
或
，即
或
，
解得
或
．
所以函數
的單調遞增區間爲
，
；單調遞減區間爲
．
②當
時，
令
，得
，由①可知
；
令
，得
，由①可知
或
．
所以函數
的單調遞增區間爲
；單調遞減區間爲
，
．
綜上可得，
當
時，
的單調遞增區間爲
，
；單調遞減區間爲
．
當
時，
的單調遞增區間爲
；單調遞減區間爲
，
．
（2）由（1）可知若
，則當
時，函數
在
上單調遞減，在
上單調遞增，
所以
，
所以不等式
有解等價於
有解，
即
有解
，
設
，則
，
所以當
時，
，
單調遞減，
當
時，
，
單調遞增，
所以
的極小值也是最小值，且最小值爲
，
從而
，
所以實數
的取值範圍爲
．
【點睛】（1）求函數的單調區間時，若函數解析式中含有字母、並且字母對結果產生影響時，需要對字母進行分類討論，討論時要選擇合適的標準，同時分類時要做到不重不漏．
（2）解答不等式有解的問題時，常用的方法是分離參數後轉化爲求函數的最值的問題，解題時要用到以下結論：
在
上有解
；
在
上有解
．若函數的最值不存在，則可利用函數值域的端點值來代替．
知識點：不等式
題型：解答題
