问题详情：
如图，
内接于⊙
，
是⊙
的直径．直线
与⊙
相切于点
，在
上取一点
使得
．线段
，
的延长线交于点
．
（1）求*：直线
是⊙
的切线；
（2）若
，
，求*影部分的面积（结果保留
）．
【回答】
（1）见解析；（2）
【解析】
（1）连接OC，根据OA＝OC，DA＝DC可得∠OAC＝∠OCA，∠DAC＝∠DCA，再根据直线
与⊙
相切于点
可得∠DAO＝90°，进而可得∠DCO＝90°，由此可*得直线
是⊙
的切线；
（2）先*
BOC为等边三角形，可得OB＝OC＝BC＝2，根据扇形面积公式可求得
，再利用含30°的直角三角形的*质及勾股定理可求得
，由此可求得
，最后便可得
．
【详解】
（1）*：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵直线
与⊙
相切于点
，
∴∠DAO＝90°，
∴∠DAC+∠OAC＝90°，
∴∠DCA+∠OCA＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∴OC⊥DC，
又∵点C在⊙
上，
∴直线
是⊙
的切线；
（2）解：∵∠CAB＝30°，
∴∠COB＝2∠CAB＝60°，
又∵OB＝OC，
∴
BOC为等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝2，
∴
，
∵∠OCE＝90°，∠COB＝60°，
∴∠E＝90°－∠COB＝30°，
∴OE＝2OC＝4，
∴在Rt
COE中，
，
∴
，
∴
∴*影部分的面积为
．
【点睛】
本题考查了切线的*质与判定、扇形的面积公式以及含30°的直角三角形的*质，勾股定理，熟练掌握切线的*质与判定、扇形的面积公式是解决本题的关键．
知识点：点和圆、直线和圆的位置关系
题型：解答题
