设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，(1)若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)<c2成立，求...

问题详情：

设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，

(1)若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)<c2成立，求c的取值范围．

(2)若对任意的x∈(0,3)，都有f(x)<c2成立，求c的取值范围．

【回答】

解　(1)∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．

∴当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1,2)时，f′(x)<0；

当x∈(2,3)时，f′(x)>0.

∴当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c.

又f(3)＝9＋8c>f(1)，

∴x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.

∵对任意的x∈[0,3]，有f(x)<c2恒成立，

∴9＋8c<c2，即c<－1或c>9.

∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．

(2)由(1)知f(x)<f(3)＝9＋8c，

∴9＋8c≤c2即c≤－1或c≥9，

∴c的取值范围为(－∞，－1]∪[9，＋∞)．

知识点：导数及其应用

题型：解答题