问题详情：
已知正项等比数列{an}(n∈N*)，首项a1＝3，前n项和为Sn，且S3＋aS5＋a5，S4＋a4成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列{nan}的前n项和为Tn，若对任意正整数n，都有Tn∈[a，b]，求b－a的最小值．
【回答】
(1)an＝3×(
)n－1.(2)9.
试题解析：(1)设等比数列{an}的公比为q，
∵S3＋aS5＋aS4＋a4成等差数列，
∴有2(S5＋a5)＝(S3＋a3)＋(S4＋a4)
即2(a1＋a2＋a3＋a4＋2a5)＝(a1＋a2＋2a3)＋(a1＋a2＋a3＋2a4)，
化简得4a5＝a3，从而4q2＝1，解得q＝±
，
∵an＞0，∴q＝
，得an＝3×(
)n－1.
(2)由(1)知，nan＝3n×(
)n－1，Tn＝3×1＋3×2×(
)＋3×3×(
)2＋…＋3n(
)n－1;
Tn＝3×1×(
)＋3×2×(
)2＋…＋3(n－1)×(
)n－1＋3n(
)n
两式相减得：
Tn＝3×1＋3×(
)＋3×(
)2＋…＋3×(
)n－1－3n(
)n
＝3×
－3n(
)n＝6－
，
∴Tn＝12－
＜12.
又nan＝3n×(
)n－1＞0，∴{Tn}单调递增，
∴(Tn)min＝T1＝3，故有3≤Tn＜12.
∵对任意正整数n，都有Tn∈[a，b]，
∴a≤3，b≥12.
即a的最大值为3，b的最小值为12.
故(b－a)min＝12－3＝9.
知识点：数列
题型：解答题
