问题详情:
如图1,正方形ABCD顶点A、B在函数y=(k﹥0)的图像上,点C、D分别在x轴、y轴的正半轴上,当k的值改变时,正方形ABCD的大小也随之改变.
(1)若点A的横坐标为3,求点D的纵坐标;
(2)如图2,当k=8时,分别求出正方形A′B′C′D′的顶点A′、B′ 两点的坐标;
(3)当变化的正方形ABCD与(2)中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时,求k的取值范围.
图1 图2
【回答】
( 过点A作AE⊥y轴于点E,则∠AED=90°.∵四边形ABCD为正方形,∴AD=DC,∠ADC=90°∴∠ODC+∠EDA=90°.∵∠ODC
+∠OCD=90°,∴∠EDA=∠OCD.*得△AED′≌△DOC(AAS)(2分).∴OD=EA(1分)∴点D的纵坐标为3(1分);(2)(本小题5分)过点B⊥x轴于点F,同理△BFC
≌△COD.∴OD=EA=FB, DE=OC=BF., ∴OE=OF(2分).设OD′=a,OC′=b,同上可得EA′=FC′=OD′=a,ED′=FB′=OC′=b, 即点A′(a,a+b),点B′(a+b,b).∵点A′、B′在反比例函数y=8/x的图象上,有a(a+b)=8, b(a+b)=8(2分),解得a=b=2或a=b=-2(舍去).∴A′、B′两点的坐标分别为(2,4),(4,2)(1分);(3)(本小题5分)∵点A′(2,4),点B′(4,2),点C′(2,0),点D′(0,2),根据待定系数法求得直线A′B′解析式为y=﹣x+6(1分),直线C′D′解析式为y=﹣x+2(1分).设点A的坐标为(m,2m),点D坐标为(0, n)
当A点在直线C′D′上时,有2m=﹣m+2,解得:m=,此时点A的坐标为(,),
∴k=×=(1分),当点D在直线A′B′上时,有n=6,此时点A的坐标为(6,12),
∴k=6×12=72(1分).综上可知:当变化的正方形ABCD与(2)中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时,k的取值范围为≤x≤72(1分).
知识点:反比例函数
题型:综合题