问题详情:
如图,已知直线y=-3x+c与x轴相交于点A(1,0),与y轴相交于点B,抛物线y=-x2+bx+c经过点A,B,与x轴的另一个交点是C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是对称轴的左侧抛物线上的一点,当S△PAB=2S△AOB时,求点P的坐标;
(3)连接BC,抛物线上是否存在点M,使∠MCB=∠ABO?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
解:(1)将A(1,0)代入y=-3x+c中,得-3+c=0,解得c=3.
∴y=-3x+3,B(0,3).
将A(1,0),B(0,3)代入y=-x2+bx+c中,得
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.
(2)连接OP,如解图1所示.
抛物线的对称轴为直线x=-=-1.
设P(m,-m2-2m+3)(m<-1).
∵S△PAB=S△POB+S△AOB-S△POA,S△PAB=2S△AOB,
∴S△POB-S△POA=S△AOB.
①当P点在x轴的上方时,
×3×(-m)-×1×(-m2-2m+3)=×1×3,
解得m1=-2,m2=3(舍去).
此时P点的坐标为(-2,3).
②当P点在x轴的下方时,
×3×(-m)-×1×(m2+2m-3)=×1×3,
解得m1=-5,m2=0(舍去).
此时P点的坐标为(-5,-12).
综上所述,P点的坐标为(-2,3)或(-5,-12).
(3)存在点M,使∠MCB=∠ABO,点M的坐标为(,)或(-,).
【提示】 在y=-x2-2x+3中,令y=0,得-x2-2x+3=0,解得x1=1,x2=-3,∴C(-3,0).∵OC=OB=3,∴△OBC为等腰直角三角形,∴∠OBC=∠OCB=45°,BC=3.①当∠MCB在直线BC的下方时,如解图2所示.设直线CM交y轴于点D,作DE⊥BC于点E,设D(0,t),则BD=3-t.∵∠DBE=45°,∴△BDE为等腰直角三角形,∴DE=BE=BD=(3-t).∵∠MCB=∠ABO,tan∠MCB=,tan∠ABO=,∴==,即CE=3DE,∴3-(3-t)=3×(3-t),解得t=,∴D(0,),∴直线CD的解析式为y=x+.联立舍去),此时M点的坐标为(,).②当∠MCB在直线BC的上方时,如解图3所示,设CM交直线AB于点N,过点N作NP⊥x轴于点P.易得直线AB的解析式为y=-3x+3,AB=.设N(k,-3k+3).∵∠MCB=∠ABO,∠CBO=∠OCB,∴∠NCA=∠ABC.又∵∠BAC=∠CAN,∴△ABC∽△ACN,∴=,即=,∴AN=.在Rt△NPA中,由勾股定理,得(k-1)2+(-3k+3)2=()2,解得k1=(舍去),k2=-.∴N点的坐标为(-,),∴直线CN的解析式为y=2x+6.联立解得 (舍去),此时M点的坐标为(-1,4).
综上所述,存在点M,使∠MCB=∠ABO,点M的坐标为(,)或(-1,4).
知识点:相似三角形
题型:综合题