问题详情:
定义:如图1,在平面直角坐标系中,点M是二次函数C1图象上一点,过点M作l⊥x轴,如果二次函数C2的图象与C1关于l成轴对称,则称C2是C1关于点M的伴随函数.如图2,在平面直角坐标系中,二次函数C1的函数表达式是y=﹣2x2+2,点M是二次函数C1图象上一点,且点M的横坐标为m,二次函数C2是C1关于点M的伴随函数.
(1)若m=1,
①求C2的函数表达式.
②点P(a,b1),Q(a+1,b2)在二次函数C2的图象上,若b1≥b2,a的取值范围为 .
(2)过点M作MN∥x轴,
①如果MN=4,线段MN与C2的图象交于点P,且MP:PN=1:3,求m的值.
②如图3,二次函数C2的图象在MN上方的部分记为G1,剩余的部分沿MN翻折得到G2,由G1和G2所组成的图象记为G.以A(1,0)、B(3,0)为顶点在x轴上方作正方形ABCD.直接写出正方形ABCD与G有三个公共点时m的取值范围.
【回答】
解:(1)①当m=1时,抛物线C2与抛物线C1关于直线x=1对称
∴抛物线C2的顶点时(2,2)
∴抛物线C2的解析式为y=﹣2(x﹣2)2+2=﹣2x2+8x﹣6
②∵点P(a,b1),Q(a+1,b2)在二次函数C2的图象上
∴b2﹣b1=﹣2(a+1)2+8(a+1)﹣6﹣(﹣2a2+8a﹣6)=﹣4a+6
当b1≥b2时
﹣4a+6≤0
∴a≥
故*为:a≥
(2)①∵MN∥x轴,MP:PN=1:3
∴MP=1
当m>0时,2m=1
m=
当m<0时,﹣2m=1
m=﹣
②分析图象可知:当m=时,可知C1和G的对称轴关于直线x=对称,C2的顶点恰在AD上,此时G与正方形恰由2个交点.
当m=1时,直线MN与x轴重合,G与正方形恰由三个顶点.
当m=2时,G过点B(3,0)且G对称轴左侧部分与正方形有两个交点
当m=2或<m≤1时,G与正方形ABCD有三个公共点.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:综合题