问题详情:
如图1是一个长为4a、宽为b的长方形,沿图中虚线用剪*平均分成四块小长方形,然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形(如图2).
(1)图2中的*影部分的面积为______;
(2)观察图2请你写出 (a+b)2、(a﹣b)2、ab之间的等量关系是______;
(3)根据(2)中的结论,若x+y=5,x•y=,则x﹣y=______;
(4)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式.如图3,你有什么发现?______.
【回答】
【考点】完全平方公式的几何背景.
【分析】(1)*影部分为边长为(b﹣a)的正方形,然后根据正方形的面积公式求解;
(2)在图2中,大正方形有小正方形和4个矩形组成,则(a+b)2﹣(a﹣b)2=4ab;
(3)由(2)的结论得到(x+y)2﹣(x﹣y)2=4xy,再把x+y=5,x•y=得到(x﹣y)2=16,然后利用平方根的定义求解;
(4)观察图形得到边长为(a+b)与(3a+b)的矩形由3个边长为a的正方形、4个边长为a、b的矩形和一个边长为b的正方形组成,则有(a+b)•(3a+b)=3a2+4ab+b2.
【解答】解:(1)*影部分为边长为(b﹣a)的正方形,所以*影部分的面积(b﹣a)2;
(2)图2中,用边长为a+b的正方形的面积减去边长为b﹣a的正方形等于4个长宽分别a、b的矩形面积,
所以(a+b)2﹣(a﹣b)2=4ab;
(3)∵(x+y)2﹣(x﹣y)2=4xy,
而x+y=5,x•y=,
∴52﹣(x﹣y)2=4×,
∴(x﹣y)2=16,
∴x﹣y=±4;
(4)边长为(a+b)与(3a+b)的矩形面积为(a+b)(3a+b),它由3个边长为a的正方形、4个边长为a、b的矩形和一个边长为b的正方形组成,
∴(a+b)•(3a+b)=3a2+4ab+b2.
故*为(b﹣a)2;(a+b)2﹣(a﹣b)2=4ab;±4;(a+b)•(3a+b)=3a2+4ab+b2.
知识点:乘法公式
题型:解答题