问题详情:
如图,点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点,点P从顶点A,点Q从顶点B同时出发,且它们的速度都为1cm/s,下面四个结论正确的有( )个.
①BP=CM;②△ABQ≌△CAP;③∠CMQ的度数不变,始终等于60°;④当第秒或第秒时,△PBQ为直角三角形.
A.1 B.2 C.3 D.4
【回答】
C【考点】全等三角形的判定与*质;等边三角形的*质.
【专题】计算题;动点型.
【分析】由三角形ABC为等边三角形,得到三边相等,且内角为60°,根据题意得到AP=BQ,利用SAS得到三角形ABQ与三角形CAP全等;由全等三角形对应角相等得到∠AQB=∠CPA,利用三角形内角和定理即可确定出∠CMQ的度数不变,始终等于60°;分∠QPB与∠PQB为直角两种情况求出t的值,即可作出判断.
【解答】解:BP不一定等于CM,选项①错误;
根据题意得:AP=BQ=t,
∵△ABC为等边三角形,
∴∠ABQ=∠CAP=60°,AB=AC,
在△ABQ和△CAP中,
,
∴△ABQ≌△CAP(SAS),选项②正确;
∴∠AQB=∠CPA,
在△APM中,∠PMA=180°﹣∠APM﹣∠PAM,
∵∠CMQ=∠PMA=180°﹣∠APM﹣∠PAM,
在△ABQ中,∠ABQ=60°,
∴∠AQB+∠BAQ=120°,
∴∠PAM+∠APM=120°,
∴∠CMQ=∠PMA=60°,选项③正确;
若∠PQB=90°,由∠PBQ=60°,得到PB=2BQ,即4﹣t=2t,
解得:t=;
若∠QPB=90°,由∠PBQ=60°,得到BQ=2PB,即t=2(4﹣t),
解得:t=,
综上,当第秒或第秒时,△PBQ为直角三角形,选项④正确,
故选C
【点评】此题考查了全等三角形的判定与*质,等边三角形的*质,以及直角三角形的*质,熟练掌握全等三角形的判定与*质是解本题的关键.
知识点:三角形全等的判定
题型:选择题