问题详情:
已知向量a,b满足|a|=4,|b|=3,且(a-3b)·(2a+b)=35.
(1)求向量a与b的夹角;
(2)设向量c=a+λb,当λ∈[0,1]时,求|c|的取值范围.
【回答】
试题解析:(1)因为(a-3b)·(2a+b)=35,则2|a|2-5a·b-3|b|2=35.----1分
因为|a|=4,|b|=3,则32-5a·b-27=35,解得a·b=-6.------------3分
设向量a与b的夹角为θ,则cosθ==-.----------------------5分
又θ∈[0,π],则θ=120°,所以向量a与b的夹角为120°.-----------6分
(2)因为|c|2=|a+λb|2=a2+2λa·b+λ2b2=|a|2+2λa·b+λ2|b|2
=16-12λ+9λ2=9+12,则|c|=. (9分)
因为λ∈[0,1],则当λ=时,|c|取最小值2;当λ=0时,|c|取最大值4,所以|c|的取值范围是[2,4].------------12分
知识点:平面向量
题型:解答题