问题详情:
已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,分析下列四个结论:
①abc<0;②b2﹣4ac>0;③3a+c>0;④(a+c)2<b2,
其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【回答】
B【分析】①由抛物线的开口方向,抛物线与y轴交点的位置、对称轴即可确定a、b、c的符号,即得abc的符号;
②由抛物线与x轴有两个交点判断即可;
③分别比较当x=﹣2时、x=1时,y的取值,然后解不等式组可得6a+3c<0,即2a+c<0;又因为a<0,所以3a+c<0.故错误;
④将x=1代入抛物线解析式得到a+b+c<0,再将x=﹣1代入抛物线解析式得到a﹣b+c>0,两个不等式相乘,根据两数相乘异号得负的取符号法则及平方差公式变形后,得到(a+c)2<b2,
【解答】解:①由开口向下,可得a<0,又由抛物线与y轴交于正半轴,可得c>0,然后由对称轴在y轴左侧,得到b与a同号,则可得b<0,abc>0,故①错误;
②由抛物线与x轴有两个交点,可得b2﹣4ac>0,故②正确;
③当x=﹣3,y<0时,即9a﹣3b+c<0 (1)
当x=1时,y<0,即a+b+c<0 (2)
(1)+(2)×3得:12a+4c<0,
即4(3a+c)<0
又∵a<0,
∴3a+c<0.
故③错误;
④∵x=1时,y=a+b+c<0,x=﹣1时,y=a﹣b+c>0,
∴(a+b+c)(a﹣b+c)<0,
即[(a+c)+b][(a+c)﹣b]=(a+c)2﹣b2<0,
∴(a+c)2<b2,
故④正确.
综上所述,正确的结论有2个.
故选:B.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:选择题