问题详情:
已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列5个结论:
①abc>0;②b<a+c;③4a+2b+c>0;④2c<3b;⑤a+b>m(am+b)(m≠1的实数).
其中正确的结论有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【回答】
A
【分析】
观察图象:开口向下得到a<0;对称轴在y轴的右侧得到a、b异号,则b>0;抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到c>0,所以abc<0;当x=﹣1时图象在x轴上得到y=a﹣b+c=0,即a+c=b;对称轴为直线x=1,可得x=2时图象在x轴上方,则y=4a+2b+c>0;利用对称轴x=﹣=1得到a=﹣b,而a﹣b+c<0,则﹣b﹣b+c<0,所以2c<3b;开口向下,当x=1,y有最大值a+b+c,得到a+b+c>am2+bm+c,即a+b>m(am+b)(m≠1).
【详解】
解:开口向下,a<0;
对称轴在y轴的右侧,a、b异号,则b>0;
抛物线与y轴的交点在x轴的上方,c>0,则abc<0,所以①不正确;
当x=﹣1时图象在x轴上,则y=a﹣b+c=0,即a+c=b,所以②不正确;
对称轴为直线x=1,则x=2时图象在x轴上方,则y=4a+2b+c>0,所以③正确;
x=﹣=1,则a=﹣b,而a﹣b+c=0,则﹣b﹣b+c=0,2c=3b,所以④不正确;
开口向下,当x=1,y有最大值a+b+c;
当x=m(m≠1)时,y=am2+bm+c,则a+b+c>am2+bm+c,
即a+b>m(am+b)(m≠1),所以⑤正确.
故选:A.
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系:对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,当a>0,开口向上,函数有最小值,a<0,开口向下,函数有最大值;对称轴为直线x=,a与b同号,对称轴在y轴的左侧,a与b异号,对称轴在y轴的右侧;当c>0,抛物线与y轴的交点在x轴的上方;当△=b2-4ac>0,抛物线与x轴有两个交点.
知识点:二次函数的图象和*质
题型:选择题