问题详情:
若实数数列满足,则称数列为“数列”.
(Ⅰ)若数列是数列,且,求,的值;
(Ⅱ) 求*:若数列是数列,则的项不可能全是正数,也不可能全是负数;
(Ⅲ) 若数列为数列,且中不含值为零的项,记前项中值为负数的项的个数为,求所有可能取值.
【回答】
【试题解析】
解:
(Ⅰ)因为是数列,且
所以,
所以,
所以,解得,
所以.
(Ⅱ) 假设数列的项都是正数,即,
所以,,与假设矛盾.
故数列的项不可能全是正数,
假设数列的项都是负数,
则而,与假设矛盾,
故数列的项不可能全是负数.
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知数列中项既有负数也有正数,
且最多连续两项都是负数,最多连续三项都是正数.
因此存在最小的正整数满足().
设,则
.
,
故有, 即数列是周期为9的数列
由上可知这9项中为负数,这两项中一个为正数,另一个为负数,其余项都是正数.
因为,
所以当时,;
当时,这项中至多有一项为负数,而且负数项只能是,
记这项中负数项的个数为,
当时,若则,故为负数,
此时,;
若则,故为负数.
此时,,
当时,必须为负数,,,
综上可知的取值*为.
知识点:数列
题型:解答题