问题详情:
在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-2x+c(c为常数)的对称轴为x=1. (Ⅰ)当c=-3时,点(x1,y1)在抛物线y=x2-2x+c上,求y1的最小值; (Ⅱ)若抛物线与x轴有两个交点,点A在点B左侧,且OA=OB,求抛物线的解析式; (Ⅲ)当-1<x<0时,抛物线与x轴有且只有一个公共点,求c的取值范围.
【回答】
解:(Ⅰ)当c=-3时,抛物线为y=x2-2x-3, ∴抛物线开口向上,有最小值, ∴y最小值===-4, ∴y1的最小值为-4; (Ⅱ)抛物线与x轴有两个交点, ①当点A、B都在原点的右侧时,如解图①, 设A(m,0),∵OA=OB, ∴B(2m,0), ∵二次函数y=x2-2x+c的对称轴为x=1, 由抛物线的对称*得1-m=2m-1,解得m=, ∴A(,0), ∵点A在抛物线y=x2-2x+c上, ∴0=-+c,解得c=, 此时抛物线的解析式为y=x2-2x+; ②当点A在原点的左侧,点B在原点的右侧时,如解图②, 设A(-n,0),∵OA=OB,且点A、B在原点的两侧, ∴B(2n,0), 由抛物线的对称*得n+1=2n-1, 解得n=2,∴A(-2,0), ∵点A在抛物线y=x2-2x+c上, ∴0=4+4+c,解得c=-8, 此时抛物线的解析式为y=x2-2x-8, 综上,抛物线的解析式为y=x2-2x+或y=x2-2x-8; (Ⅲ)∵抛物线y=x2-2x+c与x轴有公共点, ∴对于方程x2-2x+c=0,判别式b2-4ac=4-4c≥0, ∴c≤1. 当x=-1时,y=3+c;当x=0时,y=c, ∵抛物线的对称轴为x=1,且当-1<x<0时,抛物线与x轴有且只有一个公共点, ∴3+c>0且c<0,解得-3<c<0, 综上,当-1<x<0时,抛物线与x轴有且只有一个公共点时,c的取值范围为-3<c<0.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:解答题