问题详情：
如图，△ABC是等边三角形，点D在边AC上（点D不与点A，C重合），点E是*线BC上的一个动点（点E不与点B，C重合），连接DE，以DE为边作等边△DEF，连接CF.
（1）如图1，当DE的延长线与AB的延长线相交，且点C，F作直线DE的同侧时，过点D作DG∥AB，DG交BC于点G，求*CF=EG；
（2）如图2，当DE的反向延长线与AB的反向延长线相交，且点C，F在直线DE的同侧时，求*CD=CE+CF；
（3）如图3，当DE的反向延长线与线段AB相交，且点C，F在直线DE的异侧时，猜想CD、CE、CF之间的等量关系，并说明理由.
【回答】
（1）*：如图1，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
∵DG∥AB，∴∠DGC=∠B.
∴∠DGC=∠DCG=60°. ∴△DGC是等边三角形. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
∴DC=DG，∠CDG=60°.
∵△DEF是等边三角形，
∴DE=DF，∠EDF=60°
∴∠EDG=60°-∠GDF，∠FDC=60°-∠GDF
∴∠EDG=∠FDC. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
∴△EDG≌△FDC. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
∴FC=EG. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
（2）∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°.
如图2，过点D作DG∥AB，DG交BC于点G.
∴∠DGC=∠B. ∴∠DGC=∠DCG=60°
∴△DGC是等边三角形. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
∴CD=DG=CG，∠CDG=60°
∵△DEF是等边三角形，∴DE=DF，∠EDF=60°，
∴∠EDG=60°-∠CDE，∠FDC=60°-∠CDE
∴∠EDG=∠FDC. ∴△EDG≌△FDC. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分
∴EG=FC. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
∵CG=CE+EG，∴CG=CE+FC. ∴CD=CE+FC. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分
（3）如图3，猜想DC、EC、FC之间的等量关系是FC=DC+EC.
*如下：
∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°.
过点D作DG∥AB，DG交BC于点G.
∴∠DGC=∠B. ∴∠DGC=∠DCG=60°
∴△DGC是等边三角形.
∴CD=DG=CG，∠CDG=60°. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
∵△DEF是等边三角形，∴DE=DF，∠EDF=60°，
∴∠EDG=60°+∠CDE，∠FDC=60°+∠CDE
∴∠EDG=∠FDC. ∴△EDG≌△FDC. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分
∴EG=FC. ∵EG=EC+CG，∴FC=EC+DC.
知识点：等腰三角形
题型：综合题
