问题详情:
已知数列{an}满足对任意的n∈N*,都有a13+a23+…+an3=(a1+a2+…+an)2且an>0.
(1)求a1,a2的值;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)若bn=,记Sn=,如果Sn<对任意的n∈N*恒成立,求正整数m的最小值.
【回答】
【考点】8E:数列的求和.
【分析】(1)由题设条件知a1=1.当n=2时,有a13+a23=(a1+a2)2,由此可知a2=2.
(2)由题意知,an+13=(a1+a2++an+an+1)2﹣(a1+a2++an)2,由于an>0,所以an+12=2(a1+a2++an)+an+1.同样有an2=2(a1+a2++an﹣1)+an(n≥2),由此得an+12﹣an2=an+1+an.所以an+1﹣an=1.所以数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列,由通项公式即可得到所求.
(3)求得bn===2[﹣],运用数列的求和方法:裂项相消求和,可得Sn,结合不等式的*质,恒成立思想可得m≥,进而得到所求最小值.
【解答】解:(1)当n=1时,有a13=a12,
由于an>0,所以a1=1.
当n=2时,有a13+a23=(a1+a2)2,
将a1=1代入上式,可得a22﹣a2﹣2=0,
由于an>0,所以a2=2.
(2)由于a13+a23+…+an3=(a1+a2+…+an)2,①
则有a13+a23+…+an3+an+13=(a1+a2+…+an+an+1)2.②
②﹣①,得an+13=(a1+a2+…+an+an+1)2﹣(a1+a2+…+an)2,
由于an>0,所以an+12=2(a1+a2+…+an)+an+1.③
同样有an2=2(a1+a2+…+an﹣1)+an(n≥2),④
③﹣④,得an+12﹣an2=an+1+an.
所以an+1﹣an=1.
由于a2﹣a1=1,即当n≥1时都有an+1﹣an=1,
所以数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列.
故an=n.
(3)bn===2[﹣],
则Sn=2[﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣]
=2[+﹣﹣]<2×=,
Sn<对任意的n∈N*恒成立,可得≥,
即有m≥,
可得正整数m的最小值为4.
知识点:数列
题型:解答题