问题详情:
设函数,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2.
(1)求 (2)*:
【回答】
(1);(2)详见解析.
【解析】
试题分析:(1)根据求导法则求出原函数的导函数,由某点的导数是在该点的切线的斜率,结合切线方程以及该点的函数值,将函数值和切线斜率代入原函数和导函数可求得参数值;(2)由(1 )可得的解析式,为多项式,对要*的不等式进行变形,使之成为两个函数的大小关系式,再分别利用导函数求出两函数在定义域内的最值,可*得两函数的大小关系,进而*得.
试题解析:(1)函数的定义域为,
.
由题意可得,.故,.
(2)*:由(1)知,,
从而等价于.
设函数,则.
所以当,;
当时,.
故在上单调递减,上单调递增,从而在上的最小值为.
设函数,则.
所以当时,;当时,.故在上单调递增,在上单调递减,从而在上的最大值为.
综上,当时,,即.
考点:1、导数的几何意义;2、利用导数研究函数的单调*进而*不等式恒成立.
【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调*、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立和导数的几何意义,属于难题.利用导数研究函数的单调*进一步求函数最值的步骤:①确定函数的定义域;②对求导;③令,解不等式得的范围就是递增区间;令,解不等式得的范围就是递减区间;④根据单调*求函数的极值及最值(闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小).本题(2)的*过程就是利用导数分别求出在上的最小值及在上的最大值,进而得*的.
知识点:导数及其应用
题型:解答题