问题详情:
如图,在▱ABCD中,分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF,延长CB交AE于点G,点G在点A、E之间,连接CE、CF,EF,则以下四个结论一定正确的是( )
①△CDF≌△EBC;②∠CDF=∠EAF;③△ECF是等边三角形;④CG⊥AE.
A.只有①② B.只有①②③ C.只有③④ D.①②③④
【回答】
B【考点】平行四边形的*质;全等三角形的判定与*质;等边三角形的*质;等边三角形的判定.
【专题】压轴题.
【分析】根据题意,结合图形,对选项一一求*,判定正确选项.
【解答】解:∵△ABE、△ADF是等边三角形
∴FD=AD,BE=AB
∵AD=BC,AB=DC
∴FD=BC,BE=DC
∵∠B=∠D,∠FDA=∠ABE
∴∠CDF=∠EBC
∴△CDF≌△EBC,故①正确;
∵∠FAE=∠FAD+∠EAB+∠BAD=60°+60°+(180°﹣∠CDA)=300°﹣∠CDA,
∠FDC=360°﹣∠FDA﹣∠ADC=300°﹣∠CDA,
∴∠CDF=∠EAF,故②正确;
同理可得:∠CBE=∠EAF=∠CDF,
∵BC=AD=AF,BE=AE,
∴△EAF≌△EBC,
∴∠AEF=∠BEC,
∵∠AEF+∠FEB=∠BEC+∠FEB=∠AEB=60°,
∴∠FEC=60°,
∵CF=CE,
∴△ECF是等边三角形,故③正确;
在等边三角形ABE中,
∵等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段
∴如果CG⊥AE,则G是AE的中点,∠ABG=30°,∠ABC=150°,题目缺少这个条件,CG⊥AE不能求*,故④错误.
故选B.
【点评】本题考查了全等三角形的判定、等边三角形的判定和*质、平行四边形的*质等知识,综合*强.考查学生综合运用数学知识的能力.
知识点:平行四边形
题型:解答题