問題詳情:
已知函數f(x)=(x﹣1)|x﹣a|﹣x﹣2a(x∈R).
(1)若a=﹣1,求方程f(x)=1的解集;
(2)若,試判斷函數y=f(x)在R上的零點個數,並求此時y=f(x)所有零點之和的取值範圍.
【回答】
【解答】解:(1)方法一:
當a=﹣1時,(2 分)
由f(x)=1得或(2 分)
解得 x=0,1,﹣2,即解集爲{0,1,﹣2}. (2分)
方法二:當a=﹣1時,由f(x)=1得:(x﹣1)|x+1|﹣(x﹣1)=0(x﹣1)(|x+1|﹣1)=0(3分)
∴得x=1或|x+1|=1∴x=1或x=0或x=﹣2
即解集爲{0,1,﹣2}. (3分)
(2)
當x≥a時,令x2﹣(a+2)x﹣a=0,∵,
∴△=a2+8a+4=(a+4)2﹣12>0
得,(2分)
且
先判斷2﹣a,與大小:∵,即a<x1<x2,故當x≥a時,f(x)存在兩個零點.(2分)
當x<a時,令﹣x2+ax﹣3a=0,即x2﹣ax+3a=0得∵,
∴△=a2﹣12a=(a﹣6)2﹣36>0
得,
同上可判斷x3<a<x4,故x<a時,f(x)存在一個零點.(2分)
綜上可知當時,f(x)存在三個不同零點.
且
設,易知g(a)在上單調遞增,
故g(a)∈(0,2)∴x1+x2+x3∈(0,2).
知識點:*與函數的概念
題型:解答題