問題詳情：
如圖，在矩形ABCD中，AB=2BC，E爲CD上一點，且AE=AB，M爲AE的中點．下列結論：
①DM=DA；②EB平分∠AEC；③S△ABE=S△ADE；④BE2=2AE•EC．其中結論正確的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【回答】
C【考點】相似三角形的判定與*質；勾股定理；矩形的*質．
【分析】①由於DM是直角△ADE斜邊AE上的中線，欲*DM=DA，只需*AD=
AE即可；②在直角△ADE中，由於∠ADE=90°，AD=
AE，得出∠DEA=30°，然後分別算出∠AEB與∠CEB的度數即可；③由於S△ABE=
S矩形ABCD，S△ADE＜
S矩形ABCD，從而進行判斷；④如果設BC=DA=a，則可用含a的代數式表示BC、AE、EC的長度，然後在直角△BCE中運用勾股定理算出BE2的值，再算出2AE•EC的值，比較即可．
【解答】解：①∵在直角△ADE中，∠ADE=90°，M爲AE的中點，∴DM=
AE，∵AE=AB，AB=2BC=2DA，∴DM=DA，正確；
②在直角△ADE中，∠ADE=90°，AD=
AE，∴∠DEA=30°．∵CD∥AB，∴∠EAB=∠DEA=30°，∠CEB=∠ABE．在△EAB中，∠EAB=30°，AE=AB，∴∠AEB=∠ABE=75°，∴∠CEB=75°，∴EB平分∠AEC，正確；
③∵S△ABE=S矩形ABCD，S△ADE＜S△ADC=S矩形ABCD，∴S△ABE＞S△ADE，錯誤；
④在矩形ABCD中，設BC=DA=a，則AE=AB=DC=2BC=2a，DE=
AD=
a，∴EC=（2﹣
）a．在直角△BCE中，BE2=BC2+CE2=a2+[（2﹣）a]2=（8﹣4）a2，2AE•EC=2×2a×（2﹣
）a=（8﹣4
）a2，正確．
故選C．
【點評】本題主要考查了直角三角形、矩形的*質以及多邊形的面積，勾股定理．綜合*較強，有一定難度．
知識點：特殊的平行四邊形
題型：選擇題
