問題詳情：
如圖，二次函式
的圖象與
軸交於點A和點B（1，0），以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，動點P從點A出發，以每秒2個單位長度的速度沿x軸的正方向勻速運動，同時動點Q從點C出發，以每秒1個單位長度的速度沿CB勻速運動，當點Q到達終點B時，點P停止運動，設運動時間為t秒．連線DP，過點P作DP的垂線與y軸交於點E．
（1）求二次函式的解析式及點A的座標；
（2）當點P線上段AO（點P不與A、O重合）上運動至何處時，線段OE的長有最大值，並求出這個最大值；
（3）在P，Q運動過程中，求當△DPE與以D、C、Q為頂點的三角形相似時t的值；
（4）是否存在t, 使△DCQ沿DQ翻折得到
， 點
恰好落在拋物線的對稱軸上，若存在，請求出t的值，若不存在，請說明理由．
【回答】
解：（1）把B（1，0）代入
得
.∴
.
由
得
.
∴點A的座標為（-3，0）.
（2）. 如圖(2), 由正方形ABCD得AD＝AB＝4.
由
*得
∽
，
∴
設
，則
.
∴
.
∵
∴當
，此時
,
即點P位於AO的中點時， 線段OE的長有最大值
（3）①如圖①，當
時，OP=3-2t 當 
∽
，
.或
=
,又
∽
，∴
.
∴
.即
，解得
.
經檢驗：
是原方程的解.或
=即
=
此方程無解
②如圖②，當
＜t≤4時，OP=2t-3，當 ∽，
.或=,同理*得
∽
，
∴
,即
，解得
.經檢驗：
是原方程的解.
或
.即
，解得
，
（經檢驗：舍
）.
綜上所述，
或3或
.
(求出了一個的值給2分，兩個的值給4分，三個的值給5分)
（4）存在
.理由如下：如圖由
沿
翻折得
，則
≌
，
∴
，
.
設拋物線的對稱軸交DC於G，則DG＝2.在
中，∵
，
∴
.∴
.∴
，即
.
知識點：相似三角形
題型：綜合題
