問題詳情:
已知函式.
(1)當a=1時,討論f(x)的單調*;
(2)當x≥0時,f(x)≥x3+1,求a的取值範圍.
【回答】
(1)當時,單調遞減,當時,單調遞增(2)
【解析】
【分析】
(1)由題意首先對函式二次求導,然後確定導函式的符號,最後確定原函式的單調*即可.
(2)首先討論x=0情況,然後分離引數,構造新函式,結合導函式研究構造所得的函式的最大值即可確定實數a的取值範圍.
【詳解】(1)當時,,,
由於,故單調遞增,注意到,故:
當時,單調遞減,
當時,單調遞增.
(2)由得,,其中,
①.當x=0時,不等式為:,顯然成立,符合題意;
②.當時,分離引數a得,,
記,,
令,
則,,
故單調遞增,,
故函式單調遞增,,
由可得:恆成立,
故當時,,單調遞增;
當時,,單調遞減;
因此,,
綜上可得,實數a的取值範圍是.
【點睛】導數是研究函式的單調*、極值(最值)最有效的工具,而函式是高中數學中重要的知識點,對導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行: (1)考查導數的幾何意義,往往與解析幾何、微積分相聯絡. (2)利用導數求函式的單調區間,判斷單調*;已知單調*,求引數. (3)利用導數求函式的最值(極值),解決生活中的優化問題. (4)考查數形結合思想的應用.
知識點:導數及其應用
題型:解答題