問題詳情:
函式f(x)=alnx2x(a∈R).
(1)當a=3時,求f(x)的極值;
(2)當a=1時,*:f(x)2x.
【回答】
(1)當a=3時,,則,
當時,f′(x)<0,f(x)在上單調遞減;
當時,f′(x)>0,f(x)在上單調遞增;
當x∈(1,+∞)時,f′(x)<0,f(x)在(1,+∞)上單調遞減.
∴,f(x)極大值=f(1)=﹣1;
(2)*:當a=1時,,
∴不等式f(x)2x可變形為,
要*上述不等式成立,即*,
設,則g′(x)=lnx+1,令g′(x)=0,得,
在上,g′(x)<0,g(x)是減函式,在上,g(x)是增函式,
∴;
又,令h′(x)=0,得x=1,
在(0,1)上,h′(x)>0,h(x)是增函式,在(1,+∞)上,h′(x)<0,h(x)是減函式,
∴,
∴h(x)<g(x),即,所以,
由此可得f(x)2x.
知識點:基本初等函式I
題型:解答題