问题详情：
若数列
满足
，且存在常数
，使得对任意的
都有
，则称数列
为“k控数列”．
（1）若公差为d的等差数列
是“2控数列”，求d的取值范围；
（2）已知公比为
的等比数列
的前n项和为
，数列
与
都是“k控数列”，求q的取值范围（用k表示）．
【回答】
（1）
（2）
．
【分析】
（1）根据“
控数列”的定义得出
，则由等差数列的通项公式可得
对
恒成立，求出公差
的取值范围；
（2）由等比数列
为“
控数列”得
，又
是“
控数列”得
，分类讨论求出q的取值范围.
【详解】
（1）因为公差为
的等差数列
是“2控数列”，所以
，所以
，
即
，
所以
由
得所以
，又
，所以
，
由
得：
当
时，
，所以
；
当
时，
成立；
当
时，
，又
，所以
；
综上，
，
所以
的取值范围是
；
（2）因为数列
是公比为
的等比数列且为“
控数列”，所以
，显然
，故
．
易知
，要使
是“
控数列”，
则
，
（ⅰ）当
时，
，
令
，则
递减，
所以
，
所以
，即
．
要使
存在，则
得
；
（ⅱ）当
时，
，
令
，则
递减，
，
所以
，又
，所以
，
要使
存在，需
，得
综上，当
时，公比
的取值范围是
．
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的前
项和公式，数列不等式的恒成立问题，考查了分类讨论的思想，考查了学生的逻辑推理与运算求解能力．
知识点：数列
题型：解答题
