問題詳情:
如圖,拋物線與軸交於,與軸交於點.已知直線過兩點.
(1)求拋物線和直線的表達式;
(2)點是拋物線上的一個動點,
①如圖,若點在第一象限內,連接,交直線於點.設的面積為,的面積為,求的最大值;
②如圖2,拋物線的對稱軸與軸交於點,過點作,垂足為.點是對稱軸上的一個動點,是否存在以點為頂點的四邊形是平行四邊形?
若存在,求出點的座標;若不存在,請説明理由.
【回答】
(1),;(2)①;②存在,點P的座標為(2,),點Q的座標為(1,2)或(1,)
【解析】
(1)把A(-1,0),B(3,0)代入可求得拋物線的表達式,再求得點C的座標,把B(3,0),C的座標代入即可求解;
(2)①設點D的座標為(,),利用待定係數法求得直線PA的表達式為,解方程,求得點P的橫座標為,利用平等線分線段成比例定理求得,得到,利用二次函數的*質即可求解;
②根據等腰直角三角形的*質求得點的座標為(2,),分當EF為邊和EF為對角線時兩種情況討論,即可求解.
【詳解】
(1)把A(-1,0),B(3,0)代入得:
,
解得:,
∴拋物線的表達式為,
令,則,
∴點C的座標為(0,3),
把B(3,0),C(0,3)代入得:
,
解得:,
∴直線的表達式為;
(2)①∵PA交直線BC於點,
∴設點D的座標為(,),
設直線PA的表達式為,
∴,
解得:,
∴直線PA的表達式為,
∴,
整理得:,
解得:(不合題意,捨去),
∴點D的橫座標為,點P的橫座標為,
分別過點D、P作x軸的垂線,垂足分別為M、N,如圖:
∴DM∥PN,OM=,ON=,OA=1,
∴
,
∵,
∴當時,分子取得最大值,即有最大值,最大值為;
②存在,理由如下:
作於G,如圖,
∵的對稱軸為:,
∴OE=1,
∵B(3,0),C(0,3)
∵OC=OB=3,∠OCB=90,
∴△OCB是等腰直角三角形,
∵∠EFB=90,BE=OB-OE=2,
∴△OCB是等腰直角三角形,
∴EG=GB=EG=1,
∴點的座標為(2,),
當EF為邊時,
∵EFPQ為平行四邊形,
∴QE=PF,QE∥PF∥軸,
∴點P的橫座標與點F的橫座標同為2,
當時,,
∴點P的座標為(2,),
∴QE=PF=3-1=2,
點Q的座標為(1,2);
當EF為對角線時,如圖,
∵四邊形PEQF為平行四邊形,
∴QE=PF,QE∥PF∥軸,
同理求得:點P的座標為(2,),
∴QE=PF=3-1=2,
點Q的座標為(1,);
綜上,點P的座標為(2,),點Q的座標為(1,2)或(1,);
【點睛】
本題主要考查了一元二次方程的解法,待定係數法求二次函數解析式,等腰直角三角形的判定和*質,平行線公線段成比例定理,等高的三角形的面積的比等於底邊的比,二次函數的*質以及平行四邊形的對邊的判定和*質,(3)注意要分AB是對角線與邊兩種情況討論.
知識點:相似三角形
題型:綜合題