問題詳情：
如圖，在平面直角座標系中，二次函數的圖象交座標軸於A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三點，點P是直線BC下方拋物線上一動點．
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）是否存在點P，使△POC是以OC為底邊的等腰三角形？若存在，求出P點座標；若不存在，請説明理由；
（3）動點P運動到什麼位置時，△PBC面積最大，求出此時P點座標和△PBC的最大面積．
【回答】
（1）y=x2﹣3x﹣4；（2）存在，P（
，﹣2）；（3）當P點座標為（2，﹣6）時，△PBC的最大面積為8．
【詳解】
試題分析：（1）由A、B、C三點的座標，利用待定係數法可求得拋物線解析式；（2）由題意可知點P在線段OC的垂直平分線上，則可求得P點縱座標，代入拋物線解析式可求得P點座標；（3）過P作PE⊥x軸，交x軸於點E，交直線BC於點F，用P點座標可表示出PF的長，則可表示出△PBC的面積，利用二次函數的*質可求得△PBC面積的最大值及P點的座標．
試題解析：（1）設拋物線解析式為y=ax2+bx+c，
把A、B、C三點座標代入可得
，解得
，
∴拋物線解析式為y=x2﹣3x﹣4；
（2）作OC的垂直平分線DP，交OC於點D，交BC下方拋物線於點P，如圖1，
∴PO=PD，此時P點即為滿足條件的點，∵C（0，﹣4），∴D（0，﹣2），∴P點縱座標為﹣2，
代入拋物線解析式可得x2﹣3x﹣4=﹣2，解得x=
（小於0，捨去）或x=
，
∴存在滿足條件的P點，其座標為（
，﹣2）；
（3）∵點P在拋物線上，∴可設P（t，t2﹣3t﹣4），
過P作PE⊥x軸於點E，交直線BC於點F，如圖2，
∵B（4，0），C（0，﹣4），∴直線BC解析式為y=x﹣4，∴F（t，t﹣4），
∴PF=（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）=﹣t2+4t，
∴S△PBC=S△PFC+S△PFB=
PF•OE+
PF•BE=
PF•（OE+BE）=
PF•OB=
（﹣t2+4t）×4=﹣2（t﹣2）2+8，∴當t=2時，S△PBC最大值為8，此時t2﹣3t﹣4=﹣6，
∴當P點座標為（2，﹣6）時，△PBC的最大面積為8．
考點：二次函數綜合題．
知識點：二次函數單元測試
題型：解答題
