問題詳情:
如圖,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,O是AD的中點,以O為圓心在AD的下方作半徑為3的半圓O,交AD於E、F.
思考:連接BD,交半圓O於G、H,求GH的長;
探究:將線段AF連帶半圓O繞點A順時針旋轉,得到半圓O′,設其直徑為E'F′,旋轉角為α(0<α<180°).
(1)設F′到AD的距離為m,當m>時,求α的取值範圍;
(2)若半圓O′與線段AB、BC相切時,設切點為R,求的長.
(sin49°=,cos41°=,tan37°=,結果保留π)
【回答】
思考:GH= ;探究:(1)α的取值範圍為30°<α<150°;(2)或.
【解析】
思考:作ON⊥BD,*△ADB∽△NDO得,據此求得ON=,再根據勾股定理求得NH的長,繼而由GH=2NH可得*;
探究:(1)過F′作F′Q⊥AD於Q,分垂足Q落在線段AD上和線段DA延長線上兩種情況,利用Rt△AQF′中,sin∠QAF′=求得∠QAF′的度數即可得出∠α的範圍;
(2)分半圓O′與AB相切和與BC相切兩種情況求解,求出所對圓心角度數即可得出*.
【詳解】
思考:如圖1,過O作ON⊥BD於N,
∴HN=GN,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD=BC=8,∠BAD=90°,
又∵AB=6,
∴BD=10,
∵∠BAD=∠OND=90°,∠ADB=∠NDO,
∴△ADB∽△NDO,
∴,
∴ON=,
連接OH,
∵OH=3,
∴HN=,
∴GH=2HN=;
探究:(1)如圖2,過F′作F′Q⊥AD於Q,
當F′到AD的距離為時,有F′Q=,
此時,
所以α=30°,
如圖3,當Q落在DA延長線時,
可求得α=150°,
所以當m>時,α的取值範圍為30°<α<150°;
(2)如圖4,當半圓O′與AB相切,切點為R,連接O′R,
∴∠O′RA=90°,
∵,
∴∠O′AR=49°,
∴∠F′O′R=90°+49°=139°,
∴的長=;
如圖5,當半圓O′與BC相切,切點為R,過點O′作O′P⊥AB於P,連接O′R,
∴∠O′RB=90°,
易得四邊形PBRO′是矩形,
∴O′R=BP=3,
∴AP=3,
∴,
∴∠PO'A=49°,
∴∠RO'F'=41°,
∴的長=,
綜上,的長為或.
【點睛】
本題主要考查圓的綜合問題,解題的關鍵是掌握垂徑定理、相似三角形的判定與*質、矩形的判定與*質及切線的*質等知識點.
知識點:點和圓、直線和圓的位置關係
題型:解答題