問題詳情：
如圖：AB是⊙O的直徑，AC交⊙O於G，E是AG上一點，D爲△BCE內心，BE交AD於F，且∠DBE=∠BAD．
（1）求*：BC是⊙O的切線；
（2）求*：DF=DG；
（3）若∠ADG=45°，DF=1，則有兩個結論：①AD•BD的值不變；②AD+BD的值不變，其中有且只有一個結論正確，請選擇正確的結論，*並求其值．
【回答】
【解答】（1）*：∵D爲△BCE內心，
∴∠DBC=∠DBE，
∵∠DBE=∠BAD．
∴∠DBC=∠BAD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠DBC+∠ABD=90°，即∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∴BC是⊙O的切線；
（2）*：如圖1，連接DE，
∵∠DBC=∠BAD，∠DBC=∠DBE，
∴∠DBE=∠BAD，
∴∠ABF+∠BAD=∠ABF+∠DBE，
∴∠BFD=∠ABD，
∵∠DGC=∠ABD，
∴∠BFD=∠DGC，
∴∠DFE=∠DGE，
∵D爲△BCE內心，
∴∠DEG=∠DEB，
在△DEF和△DEG中
∴△DEF≌△DEG（AAS），
∴DF=DG；
（3）解：①AD﹣BD的值不變；
如圖2，在AD上截取DH=BD，連接AH、BG，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=∠AGB=90°，
∵∠ADG=45°，
∴∠ABG=∠ADG=45°，
∴AB=BG，
∵∠BDH=90°，BD=DH，
∴∠BHD=45°，
∴∠AHB=180°﹣45°=135°，
∵∠BDG=∠ADB+∠ADG=90°+45°=135°，
∴∠AHB=∠BDG，
∵∠BAD=∠BGD，
∴△ABH∽△GBD，
∴==，
∵DG=1，
∴AH=，
∵AD﹣BD=AD﹣DH=AH，
∴AD﹣BD=．
知識點：相似三角形
題型：綜合題
